Énoncé du théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Théorème des valeurs intermédiaires  (admis)

Soit  \(f\) une fonction définie sur un intervalle  \(I\) .
Soit  \(a\) et  \(b\) deux réels de \(I\) tels que  \(a < b\) .
Si  \(f\) est continue sur \([a \ ;\ b]\) alors, pour tout réel  \(k\) compris entre  \(f(a)\) et \(f(b)\) , il existe au moins un réel \(c \in [a\ ;\ b]\) tel que \(f(c) = k\) .
Autrement dit, l’équation \(f(x) = k\)  admet au moins une solution sur l'intervalle \([a\ ;\ b]\) .

Remarques

1. Le théorème donne l'existence d’une solution, mais ne permet pas de déterminer le nombre
de solutions. Il ne donne pas non plus le moyen de déterminer la ou les solutions.

2. On admet que, par convention, les flèches d'un tableau de variations traduisent la continuité de la fonction considérée.

3. Le théorème des valeurs intermédiaires peut également s’appliquer sur un intervalle ouvert ou semi-ouvert, mais il faut alors remplacer les valeurs des images par les valeurs des limites de `f`  au bornes de l'intervalle. Par exemple, on considère une fonction `f`  définie et continue sur `[0\ ;+\infty[`  dont on donne ci-dessous le tableau de variations.

• `f`  est continue sur l'intervalle `[0\ ;+\infty[`  ;
• `f(0)=-1`  et \(\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=+\infty\)  donc   \(2 \in [f(0)\ ;\ \color{red}{\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)}[\) .
  

D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation \(f(x)=2\)  admet au moins une solution sur l'intervalle   \([0\ ;\ +\infty[\) .